María A. Lledó

Superfields, nilpotent superfields and superschemes

Symmetry 12 (2020) 6, 1024.

¿De qué se trata? Un supercampo es una generalización de lo que es un campo: una aplicación del espacio-tiempo en una variedad. No basta aplicar el prefijo ‘súper’ a ‘variedad’ o a ‘espacio-tiempo’ para tener definido lo que es un supercampo. En este artículo se demuestra que es necesaria un punto de vista functorial del espacio de supercampos para tener una definición rigurosa e inequívoca de lo que es un supercampo. También consideramos supercampos especiales, como por ejemplo el supercampo escalar cuyo cuadrado es 0. En el caso no súper, esto implicaría que el campo es 0 en todo el espacio-tiempo, pero la conclusión no es la misma para el supercampo: una estructura interesante aparece en términos de superesquemas, una generalización del concepto de supervariedad.

¿Por qué es importante? Los supercampos han sido utilizados prácticamente desde el inicio de la supersimetría en física, pero su definición era siempre heurística y no resistía un análisis en profundidad. Por otro lado, había una confusión entre lo que los matemáticos entendían por supercampo y las propiedades que a éstos se les suponían en las aplicaciones físicas. La solución al enigma viene dada, como tantas veces en supergeometría, recurriendo al formalismo functorial, que, si bien inicialmente parece una complicación, luego resulta una simplificación del problema, sobre todo por su naturalidad (en el sentido matemático).

Por otro lado, la solución a la ecuación φ^2=0 (y a otras similares pero más complicadas), siendo φ un supercampo, siempre se había resuelto en física localmente, mientras que aquí damos una solución global en términos de superesquemas.

Una teoría que es consistente sólo en presencia de supersimetría es la teoría de cuerdas. Según la teoría de cuerdas, todas las partículas elementales son pequeñas cuerdas vibrando en el espacio-tiempo. Según la frecuencia de la vibración se obtiene una partícula u otra. Uno de los aspectos más importantes de la teoría de cuerdas es que, entre otras, aparece una partícula sin masa, de helicidad 2 que corresponde al gravitón, esto es, la excitación cuántica del campo de la gravedad. A grandes rasgos, esto significa que la teoría de cuerdas es una teoría donde la gravedad aparece naturalmente cuantizada. Como aparecen otras partículas e interacciones se considera que la teoría de cuerdas es una teoría unificada de todas las interacciones fundamentales. La teoría de cuerdas sólo es consistente en su versión supersimétrica (supercuerdas) y con una dimensión del espacio-tiempo D=10=9+1. La forma clásica de resolver la paradoja de tener un espacio tiempo con nueve dimensiones espaciales es asumir que 6 de ellas están compactificadas, es decir, forman una variedad compacta de un tamaño al que no se ha podido acceder mediante el experimento.

Hay un límite (a bajas energías, en un régimen no cuántico) en el cual la teoría de supercuerdas se convierte en una teoría de campos ordinaria pero que incluye la gravedad y presenta supersimetría. Son las teorías de supergravedad, en diferentes dimensiones y con diferentes grados de supersimetría. Algunas de estas teorías se corresponden con compactificaciones y rupturas de supersimetría a partir de las teorías de supercuerdas que ‘viven’ en D=10. Desde el punto de vista de supergravedad, no sólo la gravedad, sino todas las interacciones son inherentemente geométricas y, de hecho, hay una riqueza impresionante de estructuras geométricas relacionadas con ella. Particularmente importantes son las variedades ‘target’ de los campos escalares que aparecen en las representaciones de supersimetría. Variedades de Kähler y variedades quaterniónicas se corresponden con escalares de diferentes orígenes.